Question

Помогите пожалуйста с интегралами:
1). ∫(4/х⁵ - (1-2)³) dx
2). ∫(x+2/cos²x-1) dx
3). ∫(1/2 sin x/2-3x²) dx

Answer 1

$sin^2x + cos^2x = 1$ - основное тригонометрическое тождество
$intlimits frac{x+2}{cos^2(x) -1} dx = intlimits( frac{x}{-sin^2x} + frac{2}{sin^2(x)})dx$
1. $= intlimits frac{2}{sin^2(x)} = 2= intlimits frac{1}{-sin^2(x)} = 2ctg(x) + C$ -  табличный интеграл
2. $intlimits frac{x}{sin^2(x)}$ - тут сложнее, тут 2 функции. придётся интегрировать по частям.
По правилу: $= int udg = f*g - int g d f$, где d и f какие-то функции. Пусть $u = x$ тогда $du = (x)'dx = 1*dx$
Также $dg = frac{1}{sin^2x}$ тогда $g = int dg = int frac{1}{sin^2x} = -ctg(x)$
Зписываем итог:
$intlimits frac{x}{sin^2(x)} = -x*ctg(x)+ int ctg(x) dx = -x*ctg(x) + ln|sinx|+C$
А теперь общее решение:
$intlimits frac{x+2}{cos^2(x) -1} dx = -x*ctg(x) + ln|sinx|+ 2ctg(x) + C$