Question

Написать три первых члена ряда. Найти интервал сходимости и исследовать ряд на сходимость на концах интервала.

Answer 1

Первые три члена ряда: $frac{3x}{2 sqrt[3]{2} } ;,, frac{9x^2}{4 sqrt[3]{3} } ;,,,, frac{27x^3}{8 sqrt[3]{4} }$

Найдем радиус сходимости, используя признак Даламбера
   $R= lim_{n to infty} frac{a_n}{a_{n+1}} = lim_{n to infty} frac{3^n2^{n+1} sqrt[3]{n+2} }{3^{n+1}2^n sqrt[3]{n+1} } = frac{2}{3}$

Тогда интервал сходимости ряда: $|x| textless frac{2}{3};$      ⇒      $-frac{2}{3} textless x textless frac{2}{3}$

Исследуем теперь ряд на концах интервала
Если х=-2/3 то ряд примет вид:
          $displaystyle sum^infty_{n=1} frac{(-1)^n}{ sqrt[3]{n+1} }$
А этот ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Если х=2/3, то имеем сумму ряда $displaystyle sum^infty_{n=1} frac{1}{ sqrt[3]{n+1} }$ который является расходящимся.

Степенной ряд является сходящимся при $x in [- frac{2}{3} ;frac{2}{3} )$