Question

доказать то, что на фото

Answer 1

для случая, когда f(x)→0, а g(x)→∞

Answer 2

Условие g(x)→∞ здесь необязательно. Оно и нигде не использовалось. Чтобы все это было верно, достаточно только f(x)→0 и существование предела у f(x)g(x) при x→∞.

Answer 3

напишите свой ответ, пожалуйста, а то мне сложно

Answer 4

В принципе вверху все верно написано. Я бы немного по-другому писал, но возможно это будет тоже непонятно: Берем натуральный логарифм от всего этого выражения и ищем его предел при x→∞. Получается g(x)ln(1+f(x)). Так как ln(1+z) эквивалентен z при бесконечно малом z, то ln(1+f(x)) заменяем на f(x). Получается g(x)f(x). Собственно все.

Answer 5

Да, именно при таких предположениях тождество будет справедливо. Но это, как я уже отметил, лишь частный случай, а в общем случае тождество несправедливо.