Question

Обозначим через p(n) произведение всех цифр натурального числа n. Вычислите p(1000)+p(1001)+…+p(2019).

Answer 1

Ясно, что если хотя бы одна цифра числа n равна нулю, то p(n)=0. В первый раз p(n) не равно нулю, когда n=1111, в последний раз - когда n=1999. Отбрасывая числа с нулями, сводим задачу к следующей:

Найти $sumlimits_{i,j,k=1}^9i j k.$

Имеется в виду, что i - число тысяч, j - число десятков, k - число единиц числа (число десятков тысяч всегда равно 1 и поэтому не учитывается). Преобразуем:

$sumlimits_{i,j,k=1}^9ijk=sumlimits_{i=1}^9left(icdotsumlimits_{j,k=1}^9 jkright)=left(sumlimits_{i=1}^9iright)cdot left(sumlimits_{j=1}^9jright) cdotleft(sumlimits_{k=1}^9kright)=$

$45cdot 45cdot 45=91125$.

Кто не разобрался со знаками суммирования, разберу пример с

$scriptstylesumlimits_{i,j,k=1}^2ijk=1cdot 1cdot 1+1cdot 1cdot 2+1cdot 2cdot 1+1cdot 2 cdot 2+2cdot 1cdot 1+2cdot 1cdot 2+2cdot 2cdot 1+ 2cdot 2cdot 2=$

$scriptstyle =1(1cdot 1+1cdot 2+2cdot 1+2cdot 2)+2(1cdot 1+1cdot 2+2cdot 1+2cdot 2)=(1+2)(1cdot 1+1cdot 2+2cdot 1+2cdot 2)=$

$scriptstyle =(1+2)left[1(1+2)+2(1+2)right]=(1+2)(1+2)(1+2)=27$

Ответ: 91125

Answer 2

спасибо