Question

найдите наименьшее значения выражения (х-1)(х-2)(х-3)(х-4)+10

ответ должен быть 9

Answer 1

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 10 =\ = (x^2-2x-x+2)(x-3)(x-4) + 10 = \ = (x^2-3x+2)(x-3)(x-4) + 10 = \ = (x^3-3x^2-3x^2+9x+2x-6)(x-4)+10 = \ = (x^3-6x^2+11x-6)(x-4)+10 = \ = x^4-4x^3-6x^3+24x^2+11x^2-44x-6x+24+10 = \ = x^4-10x^3+35x^2-50x+34$
Функция принимает минимальное значение в критических точках или на концах отрезка. Концы отрезка у нас бесконечности, поэтому ищем критические точки.
$f(x) = x^4-10x^3+35x^2-50x+34\ f'(x) = 0\ f'(x) = (x^4-10x^3+35x^2-50x+34)' = \\ = (x^4)'-(10x^3)'+(35x^2)'-(50x)'+(34)' = \\ = 4x^3-30x^2+70x-50 = 2(2x-5)(x^2-5x+5)\\ 2(2x-5)(x^2-5x+5) = 0\ 2x-5=0\ 2x=5\ x_1=frac{5}{2}\\ x^2-5x+5=0\ D = 25-20 = 5\ x_2=frac{5-sqrt{5}}{2}\ x_3=frac{5+sqrt{5}}{2}$
$f(frac{5}{2}) = frac{169}{16} = 10,5625\\ f(frac{5-sqrt{5}}{2}) = 9\\ f(frac{5+sqrt{5}}{2}) = 9$
Ответ: при $x = frac{5-sqrt{5}}{2}$ и $x = frac{5+sqrt{5}}{2}$ достигается минимум функции - 9

Answer 2

но это нецелые числа

Answer 3

да

Answer 4

иррациональные