Question

найти общее решение дифференциального уравнения: y'+y*tgx=1/cosx

Answer 1

Сначала находим общее решение однородного уравнения

y'+tgx*y=0.

Разделяем переменные

dy/y = -tgx*dx

интегрируя, получаем y=C*cos(x)

 

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

y0=f(tg(x))*cos(x), Где f - неизвестная дифференцируемая функция от аргумента "tg(x)"

дифференуируем: y0'=-sin(x)*f(tg(x))+cos(x)*df/d(tg(x))

 

во втором слагаемом раскрываем производную сложной функции:

 

получим: y0'=-sin(x)*f(tg(x))+cos(x)*(df/d(tg(x))*(d(tg(x))/dx) =

далее опускаем аргумент функции f(tg(x))

-sin(x)*f+1/cos(x)*df/d(tg(x))

 

Подставив y0' и y0 в исходное уравнение, получим, что многое сократится и производная df/d(tg(x)) = 1, откуда f=tg(x)

 

Ответ: y= C*cos(x)+ tg(x)*cos(x)

 

Answer 2

Ответ: y = sinx + Ccosx

Пошаговое объяснение:

Домножим левую и правую части уравнения на комплектующий множитель $mu (x)$:

$mu (x)=e^{int{rm tg}xdx}=e^{int frac{sin x}{cos x}dx}=e^{-int frac{dcos x}{cos x}}=e^{-ln |cos x|}=e^{ln|frac{1}{cos x}|}=dfrac{1}{cos x}$

$dfrac{1}{cos x}cdot dfrac{dy}{dx}+dfrac{1}{cos x}cdot y{rm tg}, x=dfrac{1}{cos^2x}$

Заметим, что ${rm tg}, xcdot dfrac{1}{cos x}=dfrac{sin x}{cos^2x}=dfrac{d}{dx}left(dfrac{1}{cos x}right)$

$dfrac{1}{cos x}cdot dfrac{dy}{dx}+ycdot dfrac{d}{dx}left(dfrac{1}{cos x}right)=dfrac{1}{cos^2x}$

Воспользуемся тем, что левая часть последнего диф. уравнения это дифференциал произведения двух функций.

$dfrac{d}{dx}left(dfrac{1}{cos x}cdot yright)=dfrac{1}{cos ^2x}\ \ displaystyle intdfrac{d}{dx}left(dfrac{y}{cos x}right)dx=intdfrac{dx}{cos ^2x}~~~Longleftrightarrow~~~ dfrac{y}{cos x}={rm tg}, x+C\ \ \ y=cos x({rm tg}, x+C)=sin x+Ccos x$