Question

1)Найти дифференциал второго порядка для функции y=f(x)
y=(sinx+2)lnx
2)Вычислить приближённо с помощью дифференциала
корень 101

Answer 1

$d^2y=y''(x)dx^2$
$y'=((sinx+2)lnx)'=(sinx+2)'lnx+(sinx+2)(lnx)'=$$cosxlnx+ frac{sinx}{x}$
$y''(x)=(y'(x))'=(cosxlnx+ frac{sinx}{x} )'=$$(cosx)'lnx+cosx(lnx)'+ frac{(sinx)'x-sinxx'}{x^2} =$$-sinxlnx+ frac{cosx}{x} + frac{xcosx-sinx}{x^2} = frac{-x^2sinxlnx+xcosx+xcosx-sinx}{x^2}=$$frac{2xcosx-sinx(x^2lnx+1)}{x^2}$
$d^2y= frac{2xcosx-sinx(x^2lnx+1)}{x^2} dx^2$
2)f(x_0+Δx)≈f(x_0)+d[f(x_0)]  (формула в фото)
$f(x)= sqrt{x}$
$f(101)= sqrt{101}$
$x_0$+Δx=100+1
$f(x_0)= sqrt{x_0}= sqrt{100}=10$
$d[f(x_0)]=f'(x_0)*$Δx
$f'(x)=( sqrt{x} )'= frac{1}{2 sqrt{x} }$
Найдем значение производной в точке $x_0=100$
$f'(x_0)=f'(100)= frac{1}{2 sqrt{100} } = frac{1}{20} =0,05$
Тогда:
$d[f(100)]=0,05*1=0,05$
Окончательно имеем:
$f(101)= sqrt{101}$≈10+0,05=10,05