Предмет: Алгебра,
автор: ost1maxclimacoowl5yb
(inx/x)2 dx найти неизвестный интеграл методом интегрирования за частицами
Ответы
Автор ответа:
0
Ищем такой неопределённый интеграл ![intlimits (frac{lnx}{x})^{2} , dx intlimits (frac{lnx}{x})^{2} , dx](https://tex.z-dn.net/?f=+intlimits++%28frac%7Blnx%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D+++%2C+dx+)
Действительно, интегрировать нужно по частям по такой формуле:
![intlimits u , dv =uv- intlimits v , du intlimits u , dv =uv- intlimits v , du](https://tex.z-dn.net/?f=+intlimits+u+%2C+dv+%3Duv-+intlimits+v+%2C+du)
Итак, пусть
, ![dv= frac{dx}{ x^{2} } dv= frac{dx}{ x^{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=dv%3D+frac%7Bdx%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D+)
Тогда
, ![v=- frac{1}{x} v=- frac{1}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=v%3D-+frac%7B1%7D%7Bx%7D+)
Наш интеграл, согласно формуле интегрирования по частям, превращается в такой
![- frac{ln^{2}x}{x}-intlimits {(-frac{1}{x})* frac{2lnx}{x}}, dx =- frac{ln^{2}x}{x}+intlimits { frac{2lnx}{ x^{2} }}, dx - frac{ln^{2}x}{x}-intlimits {(-frac{1}{x})* frac{2lnx}{x}}, dx =- frac{ln^{2}x}{x}+intlimits { frac{2lnx}{ x^{2} }}, dx](https://tex.z-dn.net/?f=-+frac%7Bln%5E%7B2%7Dx%7D%7Bx%7D-intlimits+%7B%28-frac%7B1%7D%7Bx%7D%29%2A+frac%7B2lnx%7D%7Bx%7D%7D%2C+dx+%3D-+frac%7Bln%5E%7B2%7Dx%7D%7Bx%7D%2Bintlimits+%7B+frac%7B2lnx%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%7D%2C+dx)
Придётся ещё раз применить метод интегрирования по частям.
Пусть![u=lnx; dv= frac{dx}{ x^{2}} u=lnx; dv= frac{dx}{ x^{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dlnx%3B+++dv%3D+frac%7Bdx%7D%7B+x%5E%7B2%7D%7D)
Тогда![du= frac{dx}{x}; v=- frac{1}{x} du= frac{dx}{x}; v=- frac{1}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=du%3D+frac%7Bdx%7D%7Bx%7D%3B+v%3D-+frac%7B1%7D%7Bx%7D+)
И наш интеграл, согласно формуле интегрирования по частям, приобретает вид:
![- frac{ln^{2}x}{x}+intlimits { frac{2lnx}{ x^{2} }}, dx=-frac{ln^{2}x}{x}+2(- frac{lnx}{x} -intlimits { (-frac{1}{x})* frac{1}{x}}, dx)= - frac{ln^{2}x}{x}+intlimits { frac{2lnx}{ x^{2} }}, dx=-frac{ln^{2}x}{x}+2(- frac{lnx}{x} -intlimits { (-frac{1}{x})* frac{1}{x}}, dx)=](https://tex.z-dn.net/?f=-+frac%7Bln%5E%7B2%7Dx%7D%7Bx%7D%2Bintlimits+%7B+frac%7B2lnx%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%7D%2C+dx%3D-frac%7Bln%5E%7B2%7Dx%7D%7Bx%7D%2B2%28-+frac%7Blnx%7D%7Bx%7D+-intlimits+%7B+%28-frac%7B1%7D%7Bx%7D%29%2A+frac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%2C+dx%29%3D)
Действительно, интегрировать нужно по частям по такой формуле:
Итак, пусть
Тогда
Наш интеграл, согласно формуле интегрирования по частям, превращается в такой
Придётся ещё раз применить метод интегрирования по частям.
Пусть
Тогда
И наш интеграл, согласно формуле интегрирования по частям, приобретает вид:
Похожие вопросы
Предмет: Математика,
автор: njjjhdhf
Предмет: Геометрия,
автор: novyjakic
Предмет: Алгебра,
автор: karridarya
Предмет: Математика,
автор: карина2004567
Предмет: Геометрия,
автор: glotishka