Question

(inx/x)2 dx найти неизвестный интеграл методом интегрирования за частицами

Answer 1

Ищем такой неопределённый интеграл $intlimits (frac{lnx}{x})^{2} , dx$
Действительно, интегрировать нужно по частям по такой формуле:
$intlimits u , dv =uv- intlimits v , du$

Итак, пусть $u=ln^{2} x$, $dv= frac{dx}{ x^{2} }$
Тогда $du= frac{2lnx}{x}dx$, $v=- frac{1}{x}$

Наш интеграл, согласно формуле интегрирования по частям, превращается в такой
$- frac{ln^{2}x}{x}-intlimits {(-frac{1}{x})* frac{2lnx}{x}}, dx =- frac{ln^{2}x}{x}+intlimits { frac{2lnx}{ x^{2} }}, dx$

Придётся ещё раз применить метод интегрирования по частям.
Пусть $u=lnx; dv= frac{dx}{ x^{2}}$
Тогда $du= frac{dx}{x}; v=- frac{1}{x}$

И наш интеграл, согласно формуле интегрирования по частям, приобретает вид:
$- frac{ln^{2}x}{x}+intlimits { frac{2lnx}{ x^{2} }}, dx=-frac{ln^{2}x}{x}+2(- frac{lnx}{x} -intlimits { (-frac{1}{x})* frac{1}{x}}, dx)=$
$=-frac{ln^{2}x}{x}-2* frac{lnx}{x}+2*intlimits {frac{1}{ x^{2} }}, dx=-frac{ln^{2}x}{x}-2* frac{lnx}{x}-2* frac{1}{x} +C$