Question

какие падежи в словах служить в армии побывать в грузии помнить об экскурсии

Answer 1

Именительные падежи

Answer 2

Служить (где?) в армии - Предложный падеж. 
Побывать (где?) в Грузии - Предложный падеж. 
Помнить (о чём?) об экскурсии - Предложный падеж.

Падеж можно определить по предлоги и вопросу. 
Дарю табличку с вопросами по падежам. Больше не путайся)