Question

С подробным решением, пожалуйста!

Answer 1

$y= dfrac{2x^2+x}{(x+1)^2}$

1. Область определения функции:
$(x+1)^2 neq 0 \ x neq -1 \ D(y)=(-infty;-1)cup(-1;+infty)$
2. Свойства функции:
$f(-x)= dfrac{2(-x)^2+(-x)}{(-x+1)^2} = dfrac{2x^2-x}{(x-1)^2} neq pm f(-x)$ - функция общего вида
Нули функции: 
$dfrac{2x^2+x}{(x+1)^2}=0 \ 2x^2+x=0 \ 2x(x+ frac{1}{2} )=0 \ x_1=0; x_2= -frac{1}{2}$
3. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x=-1$
Наклонные асимптоты вида $kx+b$:
$k=limlimits_{xto +infty}} dfrac{f(x)}{x} =limlimits_{xto +infty}} dfrac{2x^2+x}{x(x+1)^2} =limlimits_{xto +infty}} dfrac{2x+1}{x^2+x+1} =0 \ b=limlimits_{xto +infty}} (f(x)-kx) =limlimits_{xto +infty}} dfrac{2x^2+x}{(x+1)^2} =limlimits_{xto +infty}} dfrac{2x^2+x}{x^2+2x+1} =2$
Наклонная асимптота: $y=2$
4. Интервалы монотонности:
$f'(x)= dfrac{(2x^2+x)'(x+1)^2-(2x^2+x)((x+1)^2)'}{((x+1)^2)^2} = \ =dfrac{(4x+1)(x+1)^2-(2x^2+x)cdot2(x+1)}{(x+1)^4} = \ =dfrac{(4x+1)(x+1)-2(2x^2+x)}{(x+1)^3} = \ =dfrac{4x^2+4x+x+1-4x^2-2x}{(x+1)^3} =dfrac{3x+1}{(x+1)^3} =dfrac{3(x+ frac{1}{3}) }{(x+1)^3}$
$y' textgreater 0$ при $xin (-infty;-1)cup(- frac{1}{3} ;+infty)$ - возрастание
$y' textless 0$ при $xin (-1;- frac{1}{3})$ - убывание
Значение минимума в точке минимума $x_{min}=- frac{1}{3}$:
$f(- frac{1}{3} )=dfrac{2cdot(- frac{1}{3})^2+(- frac{1}{3})}{(- frac{1}{3}+1)^2}= dfrac{2cdot frac{1}{9}- frac{1}{3}}{( frac{2}{3})^2}= dfrac{frac{2}{9}- frac{3}{9}}{ frac{4}{9}}=dfrac{- frac{1}{9}}{ frac{4}{9}}=- dfrac{1}{4}$
5. Интервалы выпуклости/вогнутости:
$f''(x)=dfrac{(3x+1)'(x+1)^3-(3x+1)((x+1)^3)'}{((x+1)^3)^2} = \ =dfrac{3(x+1)^3-(3x+1)cdot3(x+1)^2}{(x+1)^6} = \ =dfrac{3(x+1)-3(3x+1)}{(x+1)^4} =dfrac{3x+3-9x-3}{(x+1)^4} =dfrac{-6x}{(x+1)^4}$
$y'' textgreater 0$ при $x textless 0$ - вогнутость
$y'' textless 0$ при $x textgreater 0$ - выпуклость
Значение функции в точке перегиба $x=0$:
$f(0)=0$
Просчитаем несколько дополнительных точек для построения графика:
$f(1)=dfrac{2cdot1^2+1}{(1+1)^2}=dfrac{2+1}{2^2}=dfrac{3}{4} \ f(2)=dfrac{2cdot2^2+2}{(2+1)^2}=dfrac{8+2}{3^2}=dfrac{10}{9} \ f(-2)=dfrac{2cdot(-2)^2-2}{(-2+1)^2}=dfrac{8-2}{1^2}=6 \ f(3)=dfrac{2cdot3^2+3}{(3+1)^2}=dfrac{18+3}{4^2}=dfrac{21}{16} \ f(-3)=dfrac{2cdot(-3)^2-3}{(-3+1)^2}=dfrac{18-3}{2^2}= frac{15}{4}$
Используя все результаты получаем график (на картинке)

Answer 2

ничего непонятно и много лишнего.