Question

Решите задание ...........................................

Answer 1

а) Данное уравнение - дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной. Также это уравнение с разделяющимися переменными.
    $displaystyle frac{dy}{dx} =- frac{y}{x} ;~~Rightarrow~~ frac{dy}{y}=- frac{dx}{x} ;~Rightarrow~~ intlimits frac{dy}{y}=-intlimits frac{dx}{x} \ \ ln|y|=-ln|x|+ln C\ \ y= frac{C}{x}$

Найдем частное решение, подставляя начальное условие в общее решение данного дифференциального уравнения:
  $1= dfrac{C}{1} ~~Rightarrow~~~ C=1$

$boxed{y= frac{1}{x} }$ - Частное решение

б) Очевидно, что данное дифференциальное уравнения является однородным,т.к. выполняется для него условие
$y'= dfrac{lambda y}{lambda x} ln dfrac{lambda y}{lambda x} ;~~~Rightarrow~~~~y'= dfrac{y}{x} ln dfrac{y}{x}$

Введём замену. Пусть $y=ux$, тогда по правилу дифференцирования произведения имеем $y'=u'x+u$

$displaystyle u'x+u= frac{ux}{x} lndfrac{ux}{x};,,,, Rightarrow~~ u'x +u= uln u ;~~Rightarrow~~u'x=u(ln u-1)$

  $displaystyle intlimitsfrac{du}{u(ln u-1)} = intlimits frac{dx}{x} ;~~Rightarrow~~ intlimits frac{d(ln u-1)}{ln u-1} = intlimits frac{dx}{x} \ \ \ ln|ln u-1|=ln |x|+ln C\ \ ln u-1=Cx\ \ boxed{ln frac{y}{x} =Cx+1}$

Задание 3. $y'- frac{y}{x} =x^3$
Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.
Применим метод Бернулли
Пусть $y=uv$, тогда по правилу дифференцирования произведения $y'=u'v+uv'$, имеем
  $u'v+uv'- dfrac{uv}{x} =x^3\ \ u'v+ubigg(v'- dfrac{v}{x} bigg)=x^3$

1. $v'-dfrac{v}{x} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.
$displaystyle dfrac{dv}{dx} = dfrac{v}{x} ;~~~Rightarrow~~~ intlimits frac{dv}{v} = intlimits frac{dx}{x} ;~~~Rightarrow~~~ v=x$

2. Поскольку второе слагаемое равно нулю, то имеем
$u'x=x^3\ \ u'=x^2;~~~Rightarrow displaystyle u= intlimits x^2dx= frac{x^3}{3}+C$

Общее решение линейного неоднородного уравнения: $y=xbigg(dfrac{x^3}{3}+C bigg )= dfrac{x^4}{3}+Cx$