Question

М-шахматы это игра в которую можно играть только втроем. Несколько марсиан решили сыграть несколько партий в м-шахматы так, чтобы каждые трое играли все вместе ровно один раз. Один из марсиан заболел и марсианам пришлось играть на 78 игр меньше. Сколько всего было марсиан (включая заболевшего)?

Answer 1

В данном случае нужно воспользоваться формулой сочетания без повторений:
$C^{k}_{n} = dfrac{n!}{(n - k)! cdot k! }$
Здесь k = 3. n - неизвестная величина.
Т.к. известно, что при n - 1 было сыграно на 78 меньше игр, то получим следующее уравнение:
$C^{3}_{n} - C^{3}_{n - 1} = 78 \ \ dfrac{n!}{3! cdot (n - 3)!} - dfrac{(n - 1)!}{3! cdot (n - 4)!} = 78 \ \ dfrac{n!}{(n - 3)!} - dfrac{(n - 1)!}{(n - 4)!} = 78 cdot 3! \ \ dfrac{n!}{(n - 3) cdot (n - 4)!} - dfrac{(n - 1)!}{(n - 4)!} = 468 \ \ dfrac{n! - (n - 1)!(n - 3)}{(n - 3)(n - 4)! }= 468 \ \ dfrac{n(n - 1)! - (n - 3)(n - 1)!}{(n - 3)(n - 4)!} = 468 \ \ dfrac{(n -n + 3)(n - 1)!}{(n - 3)!} = 468 \ \ dfrac{3(n - 1)(n - 2)(n - 3)!}{(n - 3)!} = 468$
$(n - 1)(n - 2) = 468:3 \ \ (n^2 - 2n - n + 2) - 156 = 0 \ \ n^2 - 3n - 154= 0 \ \ n^2 - 14n + 11n - 154 = 0 \ \ n(n - 14) + 11(n - 14) = 0 \ \ (n + 11)(n - 14) = 0 \ \ n = -11 - ne ud.; n = 14.$
Значит, всего было 14 марсиан. 

Ответ: 14 марсиан.