Question

Помогите решить диф. уравнение методом Бернули (y=uV; y'=u'V+uv')

Answer 1

$y'-2xy+1=0$
$y'-2xy=-1$
Вводим замену:$y=uv$
Дифференцируем:
$y'=u'v+uv'$
Подставляем в наше уравнение выражения для $y$ и $y'$.
$u'v+uv'-2xuv=-1$
Выносим $u$ за скобки
$u'v+u(v'-2xv)=-1$
$v'-2xv=0$
$frac{dv}{v}-2xdx=0$
$intlimits{frac{dv}{v} } - intlimits2xdx=0$
$ln|v|-2* frac{x^2}{2}=c$
c=0
$ln|v|=x^2$
$v=e^{x^{2}}$
$frac{du}{dx}*e^{x^2} =-1$
$du=-e^{-x^2}dx$
$u= -intlimits e^{-x^2}+c$
$intlimits e^{-x^2}dx=[z= sqrt{2}x; x^2= frac{z^2}{2}; dx= frac{1}{ sqrt{2} }dz]= intlimits e^{ -frac{z^2}{2} }* frac{1}{ sqrt{2} }dz=$$frac{1}{ sqrt{2} } intlimits e^{- frac{z^2}{2} }dz= frac{ sqrt{2 pi } }{ sqrt{2}}$Ф(z)$+c= sqrt{ pi }$Ф$( sqrt{2}x )+c$
$u=- sqrt{ pi }$Ф$( sqrt{2}x )$+c
$y=uv=(- sqrt{ pi }$Ф$( sqrt{2} x)+c$)$e^{x^2}$=$- sqrt{ pi }e^{x^2}$Ф$( sqrt{2}x )+ce^{x^2}$