Question

Доказать методом математической индукции.
$1+ frac{1}{ sqrt{2} }+ frac{1}{ sqrt{3} }+...+ frac{1}{ sqrt{n} } textgreater sqrt{n} , n geq 2$

Answer 1

1) Пусть n=2
$1+ frac{1}{ sqrt{2} } textgreater sqrt{2} \ \ sqrt{2}* (1+ frac{1}{ sqrt{2} } ) textgreater sqrt{2} *sqrt{2} \ \ sqrt{2} +1 textgreater 2 \ \ sqrt{2} textgreater 1$
верно
2)Пусть верно при n=k
$1+ frac{1}{ sqrt{2} } + frac{1}{ sqrt{3} } +...+ frac{1}{ sqrt{k} } textgreater sqrt{k}$
3)докажем, что верно при n=k+1$1+ frac{1}{ sqrt{2} } + frac{1}{ sqrt{3} } +...+ frac{1}{ sqrt{k} } + frac{1}{ sqrt{k+1} } textgreater sqrt{k}+ frac{1}{ sqrt{k+1} }$
$frac{1}{ sqrt{k+1} } -$положительное число
$sqrt{k} + frac{1}{ sqrt{k+1} } textgreater sqrt{k+1} \ \ sqrt{k+1}*( sqrt{k} + frac{1}{ sqrt{k+1} } ) textgreater sqrt{k+1} * sqrt{k+1} \ \ sqrt{k(k+1)} +1 textgreater k+1 \ \ sqrt{k^2+k} textgreater sqrt{k^2} ;k geq 2$
верно
⇒
$1+ frac{1}{ sqrt{2} } + frac{1}{ sqrt{3} } +...+ frac{1}{ sqrt{k} } + frac{1}{ sqrt{k+1} } textgreater sqrt{k+1} }$
ч.т.д.