Question

Для наборов sin5φ, sin10φ, sin15φ и cos5φ, cos10φ, cos15φ найдите наименьшее положительное значение φ, при котором наборы совпадают. Представьте φφ в радианах в виде несократимой дроби φ=aπ/b с натуральным знаменателем. В ответе запишите знаменатель b.

Answer 1

Пусть 15φ∈(0;π/2), т.е. φ∈(0;π/30). Тогда 5φ<10φ<15φ и, т.к. на интервале (0;π/2) функция sin(x) возрастает, а cos(x) - убывает, то sin(5φ)<sin(10φ)<sin(15φ) и cos(5φ)>cos(10φ)>cos(15φ). Значит, чтобы эти наборы совпадали, должны одновременно выполняться три условия:

sin(5φ)=cos(15φ), 
sin(10φ)=cos(10φ) и
sin(15φ)=cos(5φ).

Решаем уравнение из 2-го условия и, учитывая, что 10φ∈(0;π/3), получаем 10φ=π/4, т.е.  φ=π/40, 5φ=π/8, 15φ=3π/8. Подставляя это в 1-ое и 3-е условия, получим верные равенства:
sin(5φ)=sin(π/8)=cos(π/2-π/8)=cos(3π/8)=cos(15φ) и
sin(15φ)=sin(3π/8)=cos(π/2-3π/8)=cos(π/8)=cos(5φ).
Итак, φ=π/40, а т.к. это единственное число из интервала (0;π/30), удовлетворяющее всем трем условиям, то оно и есть минимальное, т.е. в ответ идет 40.

Answer 2

Спасибо огромное!