Question

Сколько прямых можно провести через различные пары из: а) 3 точек; б) 4 точек; в) 5 точек; г) *n точек, никакие из которых не принадлежат одной прямой?

Answer 1

Ответ:

а). От 1 до 3 прямых.

б). От 1 до 6 прямых.

в). От 1 до 10 прямых.

г). От 1 до $frac{n(n-1)}{2}$ прямых.

Объяснение:

г). [Сначала разберем общий случай] Найдем максимальное количество прямых, которое можно провести через определенные n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Возьмем какую-нибудь точку из n точек. К скольким точкам можно провести из нее прямую? Так как никакие три из n точек не лежат на одной прямой, то всего будет n-1 способов сделать это. Так как это рассуждение можно сделать с любой из n точек, то мы пока получаем всего возможных способов сделать это: n(n-1) .

Но нужно учесть, что прямая от точки B до точки А - это тоже самое, что и прямая от точки А до точки В. Поэтому общее количество нужно разделить на 2:

$frac{n(n-1)}{2}$                                                          

При этом можно провести любое натуральное (0 прямых не считается) число прямых меньше указанного выше числа.

а). Через три точки максимум можно провести:

$frac{3*(3-1)}{2}=3.$ (рисунок 1)

б). Для четырех точек:

$frac{4*(4-1)}{2} = 6$  (рисунок 2)

То есть, прямых можно провести любое число от 1 до 6.

в). Для пяти точек максимум равен:

$frac{5*(5-1)}{2} = 10$  (рисунок 3)

То есть, прямых можно провести любое число от 1 до 10.

То есть всего можно провести 1 прямую, 2 и 3 прямые.

Примечание:

В решении мы пользовались, тем, никакие ТРИ из прямых не лежат на одной прямой (фотография 2).