Question

Дан треугольник ABC, у которого A(-2;5), B(2;2), C(10;0)
1. Пусть AK - биссектриса. Найти коорд. точки K
2. Определить вид треугольника

Answer 1

так как AK - биссектриса, то:
$frac{BK}{AB}= frac{KC}{AC} textless = textgreater frac{BK}{KC}= frac{AB}{AC}$
при делении точкой отрезка на 2 части, относящиеся как m к n, есть формула для вычисления координат этой точки:
$x= frac{x_1+lambda*x_2}{1+lambda} \y= frac{y_1+lambda*y_2}{1+lambda} \lambda= frac{m}{n}$
ищем длины AB и AC:
используем формулу:
$|AB|=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
$|AB|=sqrt{(-2-2)^2+(5-2)^2}=sqrt{16+9}=5 \|AC|=sqrt{(-2-10)^2+5^2}=sqrt{169}=13$
$frac{BK}{KC}= frac{AB}{AC}= frac{5}{13} =lambda$
находим координаты точки K:
$x_1=2; x_2=10; y_1=2; y_2=0; lambda=frac{5}{13} \ \K( frac{2+ frac{5}{13}*10 }{1+frac{5}{13}} ;frac{2+ frac{5}{13}*0 }{1+frac{5}{13}})=K( frac{2+ frac{50}{13} }{ frac{18}{13}}; frac{2}{ frac{18}{13} })=K( frac{ frac{76}{13} }{ frac{18}{13}}; frac{26}{18} )=K( frac{76}{18}; frac{26}{18}) = \=K( frac{38}{9}; frac{13}{9})=K(4 frac{2}{9};1 frac{4}{9} )$
теперь определим вид треугольника для этого используем теорему косинусов:
для начала найдем длину BC:
$|BC|=sqrt{(2-10)^2+2^2}=sqrt{68}$
вид треугольника будем определять по косинусу самого большого угла; если cos<0, то угол тупой; если cos=0, то угол прямой; если cos>0, то угол острый.
Против большей стороны лежит больший угол, поэтому запишем теорему косинусов для AC и косинуса угла B
$AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cosB \2*AB*BC*cosB=AB^2+BC^2-AC^2 \cosB= frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2*AB*BC}$
подставим значения:
$cosB= frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2*AB*BC}= frac{25+68-169}{2*5*sqrt{68}}= frac{-76}{10sqrt{68}} =- frac{76}{10sqrt{68}}$
cosB<0 поэтому угол тупой и треугольник тупоугольный
Ответ: $K(4 frac{2}{9};1 frac{4}{9} );$треугольник тупоугольный