Question

Sin^2x-2cos2x=sin2x
Решение тригонометрических уравнений
СРОЧНО

Answer 1

Воспользовавшись формулой понижения степени, получим
  $displaystyle frac{1-cos 2x}{2} -2cos 2x=sin 2x\ \ 1-cos 2x-4cos 2x=2sin2x\ \ 2sin 2x+5cos 2x=1$

Здесь в левой части используем формулу, содержащего дополнительного угла

$sqrt{2^2+5^2}sin(2x+arcsin frac{5}{ sqrt{2^2+5^2} } )=1\ \ sin(2x+arcsin frac{5}{ sqrt{29} } )= frac{1}{sqrt{29} } \ \ 2x=(-1)^kcdot arcsinfrac{1}{ sqrt{29} } -arcsinfrac{5}{ sqrt{29} } + pi k,k in mathbb{Z}\ \ \ boxed{x=(-1)^kcdot frac{arcsinfrac{1}{ sqrt{29} } }{2}- frac{arcsinfrac{5}{ sqrt{29} } }{2} + frac{pi k}{2},k in mathbb{Z} }$

Answer 2

sin²x - 2cos2x = sin2x
Разложим синус и косинус удвоенных аргументов по формулам:
sin2A = 2sinAcosA
cos2a = cos²A - sin²A
sin²x - 2(cos²x - sin²x) = 2sinxcosx
sin²x - 2cos²x + 2sin²x - 2sinxcosx = 0
3sin²x - 2sinxcosx - 2cos²x = 0     |:cos²x
3tg²x - 2tgx - 2 = 0
Пусть t = tgx.
3t² - 2t - 2 = 0
D = 4 + 2·4·3 = 28 = ( 2√7)²
t₁ = (2 + 2√7)/6 = (1 + √7)/3
t₂ = (2 - 2√7)/6 = (1 - √7)/3
Обратная замена:
tgx = (1 + √7)/3
x = arctg[(1 + √7)/3] + πn, n ∈ Z
tgx = (1 - √7)/3
x = arctg[(1 - √7)/3] + πn, n ∈ Z
Ответ: x = arctg[(1 + √7)/3] + πn, n ∈ Z; arctg[(1 - √7)/3] + πn, n ∈ Z.