Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение
2sin^2x=1-(2-cosx)^2

Answer 1

$2sin^2 x=1-(2-cos x)^2\ 2sin^2 x=1-4+4cos x-cos ^2x\ \ sin^2 x-4cos x+sin^2 x+cos^2x +3=0\ \ sin^2x-4cos x+4=0\ 1-cos^2x-4cos x+4=0\ \ cos^2x +4cos x-5=0$

Введём замену. Пусть $cos x=t$, при условии что $|t| leq 1$, получаем

$t^2+4t-5=0$

Согласно т. Виета: 
$t_1=-5$ - не удовлетворяет условию

$t_2=1$

Возвращаемся к обратной замене

$cos x=1\ \ boxed{x=2 pi n,n in mathbb{Z}}$

Answer 2

2sin²2x=1-(2-cosx)² ;
2(1-cos²x) =1 - 4 +4cosx -cos²x ;
cos²x + 4cosx - 5=0  ;         ***  cosx =1  *** 
*** приведенное квадратное уравнение относительно cosx ***
cosx₁ = -2-√(2²-(- 5))= - 5  не имеет решения среди действительных чисел
cosx₂ = -2+3=1.  ⇒  x₂ =2πn , n ∈ℤ .

ответ : 2πn , n ∈ℤ 
----------
cos²x+4cosx-5=cos²x-cosx+5cosx-5=cosx(cosx-1)+5(cosx-1)=
=(cosx-1)(cosx+5)