Question

Решить дифференциальное уравнение

(x+y^2) * y' = y - 1

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение можно записать в виде:
  $displaystyle x'- frac{x}{y-1} = frac{y^2}{y-1}$
Полученное последнее диф. уравнение - линейное относительно х и х'.

Метод Лагранжа.
1) Найдем решение соответствующего однородного уравнения:
$x'- dfrac{x}{y-1} =0$
Это уравнение с разделяющимися переменными.

$displaystyle dx= frac{xdy}{y-1} ;Rightarrow,, frac{dx}{x} = frac{dy}{y-1} Rightarrow,, intlimits frac{dx}{x} = intlimits frac{dy}{y-1} \ \ ln |x|=ln|y-1|+ln |C|Rightarrow,,, x=C(y-1)$

2) Примем константу за функцию, т.е. $C=C(y)$
$x=C(y)(y-1)$

Дифференцируя по правилу произведения, получим
 $x'=C'(y)(y-1)+C(y)$

Подставим все это в исходное уравнение, после упрощений имеем

$C'(y)= dfrac{y^2}{(y-1)^2} Rightarrow,, C(y)=y- dfrac{1}{y-1}+2ln|y-1|+C_1$

Получаем общее решение:

$boxed{x=(y-1)bigg(y- dfrac{1}{y-1}+2ln|y-1|+C_1 bigg)}$