Предмет: Алгебра,
автор: kristifka
Решить дифференциальное уравнение
(x+y^2) * y' = y - 1
Ответы
Автор ответа:
0
Данное дифференциальное уравнение можно записать в виде:
![displaystyle x'- frac{x}{y-1} = frac{y^2}{y-1} displaystyle x'- frac{x}{y-1} = frac{y^2}{y-1}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++x%27-+frac%7Bx%7D%7By-1%7D+%3D+frac%7By%5E2%7D%7By-1%7D+)
Полученное последнее диф. уравнение - линейное относительно х и х'.
Метод Лагранжа.
1) Найдем решение соответствующего однородного уравнения:
![x'- dfrac{x}{y-1} =0 x'- dfrac{x}{y-1} =0](https://tex.z-dn.net/?f=x%27-+dfrac%7Bx%7D%7By-1%7D+%3D0)
Это уравнение с разделяющимися переменными.
![displaystyle dx= frac{xdy}{y-1} ;Rightarrow,, frac{dx}{x} = frac{dy}{y-1} Rightarrow,, intlimits frac{dx}{x} = intlimits frac{dy}{y-1} \ \ ln |x|=ln|y-1|+ln |C|Rightarrow,,, x=C(y-1) displaystyle dx= frac{xdy}{y-1} ;Rightarrow,, frac{dx}{x} = frac{dy}{y-1} Rightarrow,, intlimits frac{dx}{x} = intlimits frac{dy}{y-1} \ \ ln |x|=ln|y-1|+ln |C|Rightarrow,,, x=C(y-1)](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+dx%3D+frac%7Bxdy%7D%7By-1%7D+%3BRightarrow%2C%2C++frac%7Bdx%7D%7Bx%7D+%3D+frac%7Bdy%7D%7By-1%7D+Rightarrow%2C%2C++intlimits+frac%7Bdx%7D%7Bx%7D+%3D+intlimits+frac%7Bdy%7D%7By-1%7D++%5C+%5C+ln+%7Cx%7C%3Dln%7Cy-1%7C%2Bln+%7CC%7CRightarrow%2C%2C%2C+x%3DC%28y-1%29)
2) Примем константу за функцию, т.е.![C=C(y) C=C(y)](https://tex.z-dn.net/?f=C%3DC%28y%29)
![x=C(y)(y-1) x=C(y)(y-1)](https://tex.z-dn.net/?f=x%3DC%28y%29%28y-1%29)
Дифференцируя по правилу произведения, получим
![x'=C'(y)(y-1)+C(y) x'=C'(y)(y-1)+C(y)](https://tex.z-dn.net/?f=x%27%3DC%27%28y%29%28y-1%29%2BC%28y%29)
Подставим все это в исходное уравнение, после упрощений имеем
![C'(y)= dfrac{y^2}{(y-1)^2} Rightarrow,, C(y)=y- dfrac{1}{y-1}+2ln|y-1|+C_1 C'(y)= dfrac{y^2}{(y-1)^2} Rightarrow,, C(y)=y- dfrac{1}{y-1}+2ln|y-1|+C_1](https://tex.z-dn.net/?f=C%27%28y%29%3D+dfrac%7By%5E2%7D%7B%28y-1%29%5E2%7D+Rightarrow%2C%2C+C%28y%29%3Dy-+dfrac%7B1%7D%7By-1%7D%2B2ln%7Cy-1%7C%2BC_1+)
Получаем общее решение:
![boxed{x=(y-1)bigg(y- dfrac{1}{y-1}+2ln|y-1|+C_1 bigg)} boxed{x=(y-1)bigg(y- dfrac{1}{y-1}+2ln|y-1|+C_1 bigg)}](https://tex.z-dn.net/?f=boxed%7Bx%3D%28y-1%29bigg%28y-+dfrac%7B1%7D%7By-1%7D%2B2ln%7Cy-1%7C%2BC_1+bigg%29%7D)
Полученное последнее диф. уравнение - линейное относительно х и х'.
Метод Лагранжа.
1) Найдем решение соответствующего однородного уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными.
2) Примем константу за функцию, т.е.
Дифференцируя по правилу произведения, получим
Подставим все это в исходное уравнение, после упрощений имеем
Получаем общее решение:
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык,
автор: sharibekova05
Предмет: Литература,
автор: Dbd7777
Предмет: Математика,
автор: Аноним
Предмет: Математика,
автор: shmelev84