Question

Напишите общий вид первообразных для данных функций
1)  f(x)=cos^2  x/3  -  sin^2  x/3
2)  f(x)=sin x/4 * cos x/4
(все действия по порядку пожалуйста)

Answer 1

первообразная- это обратное действие производной, то есть, интеграл.

1) $f(x)=cos^2frac{x}{3} -sin^2frac{x}{3} =cosfrac{2x}{3}$ - применен косинус двойного угла.

Первообразная: $F(x)=displaystyle int f(x)dx=int cosfrac{2x}{3} dx=frac{3}{2} sinfrac{2x}{3} +C$

2) Здесь можно решить двумя способами.

I способ. $F(x)=displaystyle int sinfrac{x}{4} cosfrac{x}{4} dx=int sin frac{x}{4} dbigg(int cosfrac{x}{4}bigg)=4int sinfrac{x}{4} dbigg(sinfrac{x}{4} bigg)=\ \ =4cdotfrac{sin^2frac{x}{4} }{2} +C=2sin^2frac{x}{4} +C$

II способ. В функции f(x) применить синус двойного угла.

$F(x)=displaystyle int frac{1}{2}cdot 2sinfrac{x}{4} cosfrac{x}{4} dx=frac{1}{2}intsinfrac{x}{2} dx=-frac{1}{2}cdot 2 cosfrac{x}{2}+C =\ \ =-cosfrac{x}{2} +C$

Во втором примере I и II способы оба решения верные, так как при проверке дифференцированием получаются одинаковые результаты. 

$(2sin^2 frac{x}{4} +C)'=2cdot 2sinfrac{x}{4} cdot (sin frac{x}{4} )'=4sinfrac{x}{4} cos frac{x}{4} cdot(frac{x}{4} )'=4sinfrac{x}{4} cosfrac{x}{4} cdot frac{1}{4} =sinfrac{x}{4} cosfrac{x}{4}$

$(-cosfrac{x}{2}+C)'=frac{1}{2}sinfrac{x}{2}=frac{1}{2}cdot 2sinfrac{x}{4}cosfrac{x}{4}=sinfrac{x}{4}cosfrac{x}{4}$