Question

Точка,отдаленная от всех вершин прямоугольного треугольника на 5 см, размещена на расстоянии 2 см от площади треугольника.Найдите длину гипотенузы треугольника. 

Answer 1

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.
Точка S равноудалена от плоскости треугольника, а точнее от каждой его вершины. Это значит, что все ребра полученной пирамиды SABC равны. Из этого следует, что основание высоты пирамиды (точка М) является центром описанной около ABC окружности.
Известно, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы. 
Из прямоугольного треугольника SMA, где SA = 5 см, SM = 2 см найдем AM.
$AM = sqrt{SA^{2}-SM^{2}} = sqrt{5^{2}-2^{2}} = sqrt{21}$.
$AB = 2*AM = 2sqrt{21}$.

Ответ: $2sqrt{21}$