Question

в правильном тетраэдре abcd (все грани одинаковой длины ) точка е - середина ребра cd. Найдите косинус угла между прямыми BC и AE.

Answer 1

Примем систему координат для тетраэдра:
 - основание АВС, вершина Д, её проекция на основание - точка О,            проекция на основание точки Е - точка Е1.
 - ребро АС - по оси Оу,
 - вершина А - в начале координат.
 - длина ребра - 1.

Теперь определим координаты точек.
Высота тетраэдра Н = √(1² - ((2/3)*(1*√3/2))²) = √(1-(1/3)) = √(2/3).
Точка Е имеет высоту в 2 раза меньше - (1/2)*(√(2/3)).
Высота основания h = 1*cos 30° = √3/2.
В((√3/2); 0,5; 0),
С(0; 1; 0). Вектор ВС((-√3/2); 0,5; 0).
А(0; 0; 0),
Расстояние точки О от оси Оу равно (1/3)h = √3/6.  а точки Е1 - в 2 раза меньше - √3/12.
Е(√3/12; 0,75; (√(2/3))/2). Вектор АЕ(√3/12; 0,75; (√(2/3))/2).

Косинус угла между векторами равен дроби, в числителе которой скалярное произведение векторов, в знаменателе - произведение их модулей.

Найдем скалярное произведение векторов:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz = (-0.86603) * 0.144338 + 0.5 * 0.75 + 0 *0,408248 = -0,125+0,375+0 = 0,25 = 1/4.

|a| = √(ax² + ay² + az2) = √((-0.86603)² + (0.5)² + 0²) = √(0.7500079609 + 0.25 + 0) = √1.00000 = 1.
|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(0.144338)² + (0.75)² + (0.408248)² = 

 = √0.020833458244 + 0.5625 + 0.166666429504 = √0.75 = √3/2.

Найдем угол между векторами:

cos α = (a * b)/(|a|*|b|).
cos α = (1/4)/(1*(√3/2) = 1/(2√3) = √3/6 ≈ 0,2886728.