Предмет: Алгебра,
автор: zeliboba144
Пожалуйста, помогите с решением задания
При каком наименьшему натуральном значении b, функция убывает на всей числовой прямой
f(x)=25 - e^x * x^2 - 1/9 * b^2 * e^x
Ответы
Автор ответа:
0
Найдём производную функции:
f(x) = 25 - eˣ·x² - 1/9·b²·eˣ
f'(x) = -(eˣ·x² + 2x·eˣ) - 1/9b²·eˣ = -eˣ·x² - 2x·eˣ - 1/9b²·eˣ = eˣ·(-x² - 2x - 1/9b²)
f'(x) ≥ 0
eˣ·(-x² - 2x - 1/9b²) ≥ 0
eˣ > 0 при любых x, поэтому решаем неравенство только с тем, что в скобках:
-x² - 2x - 1/9b² ≥ 0
x² + 2x + 1/9b² ≤ 0
Решим уравнение x² - 2x + 1/9b² = 0
x² - 2x + 1/9b² = 0
D = 4 - 4/9b²
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство будет неверно, а значит, функция будет убывать тогда, когда D ≤ 0
4 - 4/9b² ≤ 0
(2 - 2/3b)(2 + 2/3b) ≤ 0
(1 - 1/3b)(1 + 1/3b) ≤ 0
(-b + 3)(b + 3) ≤ 0
(b - 3)(b + 3) ≥ 0
|||||+|||||||||-3 - 3||||||||+|||||||||||||||
---------------●----------------------------●--------------------> b
Наименьшее натуральное b = 3 (-3 - не натуральное).
Ответ: при b = 3.
f(x) = 25 - eˣ·x² - 1/9·b²·eˣ
f'(x) = -(eˣ·x² + 2x·eˣ) - 1/9b²·eˣ = -eˣ·x² - 2x·eˣ - 1/9b²·eˣ = eˣ·(-x² - 2x - 1/9b²)
f'(x) ≥ 0
eˣ·(-x² - 2x - 1/9b²) ≥ 0
eˣ > 0 при любых x, поэтому решаем неравенство только с тем, что в скобках:
-x² - 2x - 1/9b² ≥ 0
x² + 2x + 1/9b² ≤ 0
Решим уравнение x² - 2x + 1/9b² = 0
x² - 2x + 1/9b² = 0
D = 4 - 4/9b²
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство будет неверно, а значит, функция будет убывать тогда, когда D ≤ 0
4 - 4/9b² ≤ 0
(2 - 2/3b)(2 + 2/3b) ≤ 0
(1 - 1/3b)(1 + 1/3b) ≤ 0
(-b + 3)(b + 3) ≤ 0
(b - 3)(b + 3) ≥ 0
|||||+|||||||||-3 - 3||||||||+|||||||||||||||
---------------●----------------------------●--------------------> b
Наименьшее натуральное b = 3 (-3 - не натуральное).
Ответ: при b = 3.
Автор ответа:
0
Всегда нужно проверять при b=±3. Вот, например, при b=3 функция убывает на всей числовой прямой.
Автор ответа:
0
Извините за придирчивость, но ответ помоему 3)
Автор ответа:
0
Да, вы правы, там будет только одна точка решением неравенства, поэтому знак <= во втором неравенстве
Автор ответа:
0
Спасибо за подробное объяснение
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык,
автор: DaklYtka
Предмет: Алгебра,
автор: daniilkaaKRAZY
Предмет: Английский язык,
автор: katyasshi
Предмет: Алгебра,
автор: lemaklipko
Предмет: Математика,
автор: знание16