Question

Доказать, что $x^{2}+y^{2}+z^{2} geq 3$ , если $x+y+z=3$

Answer 1

1 способ.
Рассмотрим векторы a=(x,y,z) и b=(1,1,1). Тогда, в силу неравенства  |a·b|≤|a|·|b|, получаем |x+y+z|≤√3·√(x²+y²+z²), т.е. √3≤√(x²+y²+z²), откуда 3≤x²+y²+z².

2 способ.
9= (x+y+z)² = x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz ≤ x²+y²+z²+(x²+y²)+(y²+z²)+(x²+z²) =
= 3(x²+y²+z²), т.е. x²+y²+z²≥3. Здесь воспользовались очевидным неравенством 2ху≤x²+y².