Question

При каких действительных a множество пар действительных чисел (x;y) является линейным пространством при условии x+y=a−1?

Answer 1

Одним из свойств линейного пространства является замкнутость относительно сложения

То есть, сумма двух столбцов с указанным свойством должна обладать таким же свойством

$(x_1,y_1)in L\ (x_2,y_2)in L\ (x_1+x_2,y_1+y_2)in L\\ (x_1+x_2)+(y_1+y_2) = a-1\ x_1+y_1 + x_2+y_2 = a-1\ 2(a-1)=a-1\ a=1$

Необходимо, чтобы a=1. Достаточно ли этого, ведь нужна еще замкнутость относительно умножения на число. Но в принципе легко проверить:

$(x,y)in L\ (kx,ky)in L\\ kx+ky = k(x+y) = 0$

Выполняется. Легко проверить, что нулевой элемент (0,0) тоже входит в это пространство, остальные свойства ЛП выполнятся, потому что они работают для столбцов в целом

Короче говоря, при a=1