Question

На край крыши дома высотой H с расстояния L от дома школьник хочет забросить мяч. При какой минимальной величине v0 начальной скорости это возможно? Под каким углом a к горизонту следует в этом случае бросить мяч? Ускорение свободного падения g. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

Answer 1

Как бы то ни было, в определенный момент времени, когда мячик коснется крыши, можно записать два следующих равенства

$vdisplaystyle L = vtaucosalpha \ H = vtausinalpha-gtau^2/2\\ tau = L/(vcosalpha)\ H = Ltanalpha-frac{gL^2}{2v^2}(1+tan^2alpha)\\ frac{gL^2}{2v^2}tan^2alpha-Ltanalpha+H+frac{gL^2}{2v^2}=0\\ D = L^2-frac{gL^2}{v^2}left(2H+frac{gL^2}{v^2}right)\\ tanalpha = frac{v^2}{gL}left(1pmsqrt{1-frac{g}{v^2}left(2H+frac{gL^2}{v^2}right)}right)$

Нам надо найти наименьшее v при котором корни вообще могут существовать, то есть решаем предельную ситуацию

$displaystyle 1-frac{g}{v^2}left(2H+frac{gL^2}{v^2}right)=0\\ frac{v^2}{g} = 2H+frac{gL^2}{v^2}\\ frac{v^4}{g} - 2Hv^2-gL^2=0\\ v^2 = g(H+sqrt{H^2+L^2})$

При этом

$displaystyle tanalpha = frac{v^2}{gL} = frac{H+sqrt{H^2+L^2}}{L}$