Question

По окружности записаны 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна 20. Найти эти числа. Укажите наибольшее возможное значение суммы 5 подряд идущих чисел.

Answer 1

Если все числа равны, то они обязаны быть 0, а значит сумма не 20, т.е. в последовательности есть различные числа.

Все числа неотрицательны, т.к. они равны модулю разности.

Пусть а - наименьшее число на окружности, и b - следующее за ним по часовой стрелке, причем a<b. Т.е. последовательность имеет вид ...,a,b,... Тогда число перед а (т.е. соседнее против часовой стрелки) равно b-а, т.е.: ...,b-a,a,b,...
Т.к. а было минимальным, то обязательно b-a≥a и, значит, перед b-a будет (b-a)-a=b-2a. Т.е. последовательность будет иметь вид
...,b-2a,b-a,a,b,...
Т.к. b-2a≤b-a, то перед b-2a будет (b-a)-(b-2a)=a, т.е. будет
...,a,b-2a,b-a,a,b,...

Опять, повторяем рассуждение: т.к. а - минимальное, то b-2a≥a, т.е. перед а будет b-3a, а перед ним b-4a, а перед ним опять a, и т.д. Т.е.
будет: ...,a), (b-4a, b-3a, a), (b-2a, b-a, a), (b,....
Я расставил скобки, чтобы было видно, что таким рассуждением мы каждый раз получаем тройку чисел (b-2ka, b-(2k-1)a, a), где k=1,..,10 (т.к. всего чисел 30). Но тогда последняя тройка при k=10 должна начинаться с b, т.е. b-20а=b, откуда a=0, а значит последовательность чисел на окружности имеет вид ...,(b,b,0),(b,b,0),(b,b,0),... Так как сумма всех чисел равна 20, то b=1, т.е. числа на окружности имеют вид
...(110)(110)(110)... Понятно. что наибольшее возможное значение суммы 5 подряд идущих чисел равно 4.