Question

Найти E(f) и D(f). С подробным решением.

Answer 1

1. $y = frac{x^2-1}{(x-10)*x-24}$
$y = frac{x^2-1}{x^2-10x-24}$
$x^2-10x-24 neq 0$ - единственное важное здесь условие, т.к. деление на нуль лишено смысла.
$x^2-10x-24 = 0$
$D = 100+96=14^2$
$x_{1} = frac{10+14}{2} =12$
$x_{2} = frac{10-14}{2} =-2$
итак, 
$left { {{x neq 12} atop {x neq -2}} right.$ ⇒
$D(f) = (-infty;-2)U(-2;12)U(12;+infty)$
$E(f) = (-infty;+infty )$
то есть сама функция может принимать любые значения, в том числе и значение нуль в точке х=1.

2. $y = sqrt{ frac{x-12}{x^2-16x+48} }$
здесь у нас ситуация посложнее.
a)  $x^2-16x+48 neq 0$ - уже проходили, на нуль не делим.
b) $frac{x-12}{x^2-16x+48} geq 0$ - подкоренное выражение всегда положительно или равно нулю.
разберемся сначала со знаменателем.
$x^2-16x+48=0$
$D = 64 = 8^2$
$x_{1}= frac{16+8}{2} =12$
$x_{2} = frac{16-8}{2} =4$
итак, 
$left { {{x neq 12} atop {x neq 4}} right.$
Сразу обратим внимание на то, что x=12  единственное значение икса, которое обращает числитель в нуль, но мы уже определились с тем, что $x neq 12$, ⇒ функция никогда не примет значение, равное нулю. А значит точка y=0 исключается из E(f).
Но, идем дальше. 
$frac{x-12}{x^2-16x+48} textgreater 0$
(раз уж мы уже определили, что нулем это выражение не будет, то и знак сразу сделаем "строгим".
У нас возможны два случая, когда подкоренное выражение будет положительно. 1. Числитель и знаменатель одновременно положительны. 2. Числитель и знаменатель одновременно отрицательны.
$1. left { {{x-12 textgreater 0} atop {x^2-16x+48 textgreater 0}} right.$

$2. left { {{x-12 textless 0} atop {x^2-16x+48 textless 0}} right.$
разбираемся с первой системой:
$x-12 textgreater 0$
$x textgreater 12$
второе уравнение системы положительно на
(-∞;4)∪(12;+∞). Это мы увидим на графике (см. вложения)
⇒ решением первой системы будет x∈(12;+∞)
теперь рассмотрим вторую систему:
$x-12 textless 0$
$x textless 12$
и x∈(4;12)
решением второй системы является: х∈(4;12)
итак, 
$D(f) = (4;12) U(12;+infty)$
$E(f) = (0;+infty)$

Примечание: РИСУНОК, ПРЕДСТАВЛЕННЫЙ ВО ВЛОЖЕНИИ ИЛЛЮСТРИРУЕТ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ $y=x^2-16x+48$