Question

Общий наибольший делитель чисел a и b равен 1. Чему может быть равен наибольший общий делитель чисел a^2-ab+b^2 и a+b?

Answer 1

Как минимум взаимно простыми эти числа могут быть. Например, при а=b=1 получим a+b=2 и a²-ab+b²=1-1+1=1.

Предположим, что НОД(a+b, a²-ab+b²)=d>1.
Т.к. 3ab=(a+b)²-(a²-ab+b²), то 3ab делится на d. Если d≠3, то в разложении числа d на простые существует простой делитель р, который делит произведение ab, а значит р делит или а или b. Если бы p делило а, то оно делило бы и b, т.к. b=(a+b)-a, но тогда а и b не были бы взаимно простыми. Значит p не делит a. Аналогично, p не делит b. Значит для d остается единственная возможность d=3. Легко видеть, что при a=2 и b=1, получим a+b=3 и a²-ab+b²=4-2+1=3. Итак,  НОД(a+b,a²-ab+b²) может принимать только два значения 1 или 3.

Answer 2

а сорри, тут еще не совсем полное решение. Сейчас поправлю.

Answer 3

поправил.

Answer 4

Огромное вам спасибо!

Answer 5

еще чуть упростил рассуждение