Question

найти сумму всех целых решений неравенства

Answer 1

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) ≤ 3
Перемножим средние множители и крайние множители:
(x² + 4x + x + 4)(x² + 2x + 3x + 6) ≤ 3
(x² + 5x + 4)(x² + 5x+ 6) ≤ 3
Пусть t = x² + 5x + 4.
t(t + 2) ≤ 3
t² + 2t - 3 ≤ 0
t² + 2t + 1 - 4 ≤ 0 
(t + 1)² - 2² ≤ 0
(t + 1 - 2)(t + 1 + 2) ≤ 0
(t - 1)(t + 3) ≤ 0
t ∈ [-3; 1]
Обратная замена:
-3 ≤ x² + 5x + 4 ≤ 1
Преобразуем в систему неравенств:
-3 ≤ x² + 5x + 4
x² + 5x + 4 ≤ 1

x² + 5x + 7 ≥ 0 
x² + 5x + 3 ≤ 0

x² + 5x+ 7 = 0
D = 25 - 7·4 < 0 ⇒ x ∈ R
Теперь решим второе неравенство:

x² + 5x + 3 ≤ 0
x² + 5x + 3 = 0
D = 25 - 3·4 = 25 - 12 = 13 = (√13)²
x₁ = (-5 + √13)/2
x₂ = (-5 - √13)/2
x² + 5x + 3 = (x + (5 + √13)/2)(x - (√13 - 5)/2)

(x + (5 + √13)/2)(x - (√13 - 5)/2) ≤ 0
x ∈ [(-5 - √13)/2; (-5 + √13)/2]
-4 < (-5 - √13)/2 < -5
-1 < (-5 + √13)/2 < 0

S = -4 + (-3) + (-2) + (-1) = -10
Ответ: -10.

Answer 2

(х+1)(х+4) · (х+2)(х+3) ≤ 3
(x²+5x+4)(x²+5x+6) ≤ 3
Обозначим через t = x²+5x+4
Тогда получим неравенство t(t+2)-3 ≤ 0
t²+2t-3 ≤ 0
(t-1)(t+3) ≤ 0
Его решение - отрезок [-3; 1]. Вернемся к х: -3 ≤ x²+5x+4 ≤ 1. Иллюстрация решения такого двойного неравенства во вложении.
Из рисунка видно, что это неравенство, а следовательно, и исходное неравенство имеют 4  целые решения: -4; -3; -2 и -1. 
-4+(-3)+(-2)+(-1)=-10. 
Ответ: -10.