Question

Найти интеграл
$intlimits { frac{cos^{n-1} frac{x+a}{2} }{ sin^{n+1} frac{x-a}{2} } , dx$

Answer 1

Я не знаю, как до этого догадываются без компа, но идея следующая

$displaystyle 1)quadfrac{cos^{n-1}((x+a)/2)}{sin^{n+1}((x-a)/2)} = frac{cos^{n-1}((x+a)/2)}{sin^{n-1}((x-a)/2)}frac{1}{sin^2((x-a)/2)}\\ 2)quadcos(a) = cosleft(frac{x+a}{2}-frac{x-a}{2}right) =\ cosleft(frac{x+a}{2}right)cosleft(frac{x-a}{2}right)+ sinleft(frac{x+a}{2}right)sinleft(frac{x-a}{2}right) =\2left[cos((x+a)/2)sin'((x-a)/2) - cos'((x+a)/2)sin((x-a)/2) right]$

После такого возникает синтез

$displaystyle 1+2)quadfrac{cos^{n-1}((x+a)/2)}{sin^{n+1}((x-a)/2)} = \\ =-nleft(frac{cos((x+a)/2)}{sin((x-a)/2)}right)^{n-1}left(frac{cos((x+a)/2)}{sin((x-a)/2)}right)'frac{2}{ncos a} = \\ -frac{2}{ncos a}left[left(frac{cos((x+a)/2)}{sin((x-a)/2)}right)^{n}right]'$

 От полной производной интеграл взять осталось, правда, легко?

$displaystyle intquadfrac{cos^{n-1}((x+a)/2)}{sin^{n+1}((x-a)/2)}dx =- frac{2}{ncos a} left(frac{cos((x+a)/2)}{sin((x-a)/2)}right)^{n} + C$

Answer 2

спасибо