Question

На стороне АВ треугольника АВС, как на диаметре построили круг. Точка С лежит за этим кругом. Стороны АС и ВС пересекают круг в точках D и M соответственно. Найдите угол АСВ, если площади треугольников DMC и ABC соотносятся как 1 к 4

Answer 1

ADMB - вписанный четырехугольник. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
∠A+∠DMB=180°
∠DMC+∠DMB=180°
∠A=∠DMC
△DCM~△ACB (по двум углам)
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэф. подобия.
k=√(1*4)=1/2
DM/AB=1/2

Если хорда равна радиусу, то она стягивает дугу 60°.
(DM=AB*sin(a/2) <=> sin(a/2)=1/2 <=> a=60°)
∪DM=60°

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых дуг.
∠ACB= (180-∪DM)/2 =60°

Answer 2

Должен быть какой-то простой способ сразу сказать, что треугольники подобны (и из отношения площадей сразу знать к. подобия). Но я его не вижу, заскок.

Answer 3

Окружность, проведенная через вершины треугольника A, B, пересекает его стороны в точках D, M так, что DM антипараллельна AB (∠DMC=∠A).