Question

Не могу решить интеграл.

Answer 1

Найдем сначала неопределенный интеграл $displaystyle intlimits { frac{ sqrt[4]{x} }{x- sqrt{x} } } , dx$

$displaystyle intlimits { frac{ sqrt[4]{x} }{x- sqrt{x} } } , dx =bigg{ sqrt[4]{x} =u;,,,,, frac{1}{4x^{3/4}} dx=dubigg}=\ \ \ =intlimits { frac{4u^4}{u^4-u^2} } , du=4intlimits { frac{u^2}{u^2-1} } , du=4intlimits { frac{u^2-1+1}{u^2-1} } , du=\ \ \ =4intlimits { } , du+4intlimits { frac{1}{u^2-1} } , du=4u +2lnbigg| frac{u-1}{u+1}bigg|+C,,,,, u= sqrt[4]{x}$

Вычислим теперь определенный интеграл

$displaystyle intlimits^{81}_{16} { frac{sqrt[4]{x} }{x- sqrt{x} } } , dx =4sqrt[4]{x} bigg|^{81}_{16}+2lnbigg( frac{sqrt[4]{x} -1}{sqrt[4]{x} +1}bigg)bigg|^{81}_{16} =\ \ \ =4cdot 3-4cdot 2+2ln0.5-2ln frac{1}{3} =4+lnbigg( frac{9}{4}bigg)$