Question

Чему равно наименьшее значение выражения

$sqrt{x^2-x+1}+sqrt{x^2-xsqrt{3}+1}$?

Использование производной не приветствуется

Answer 1

Выделим полные квадраты в подкоренных выражениях:
$x^{2} - x + 1 = x^{2} - 2 * frac{1}{2} x + 1 = x^{2} - x + frac{1}{4} - frac{1}{4} + 1 = (x^{2} - x + frac{1}{4} ) + \ frac{3}{4} = (x - frac{1}{2}) ^{2} + frac{3}{4}$

$x^{2} - sqrt{3} x + 1 = (x^{2} - 2 * frac{ sqrt{3} }{2} x + frac{3}{4}) - frac{3}{4} + 1 = (x - frac{ sqrt{3} }{2}) ^{2} + frac{1}{4}$

Для решения задачи используем векторную интерпретацию функции.
Пусть вектор a $= {x - frac{ 1 }{2} , frac{ sqrt{3} }{2} }$, а вектор b  $= {-x + frac{ sqrt{3} }{2} , frac{1}{2} }$
Здесь векторы заданы своими координатами.

Найдём координаты суммы  этих векторов.
a + b = ${ frac{ sqrt{3} - 1 }{2} , frac{ sqrt{3} + 1}{2} }$
Тогда его длина
$|a + b| = sqrt{ (frac{ sqrt{3} - 1 }{2})^{2} + ( frac{ sqrt{3} + 1}{2})^{2} } = frac{ sqrt{8} }{ 2 } = sqrt{2}$

Найдём длины каждого из введённых векторов. Очевидно, что они равны первому и второму слагаемым соответственно:

$|a| = sqrt{ (x - frac{1}{2}) ^{2} + frac{3}{4}} \ |b| = sqrt{(x - frac{ sqrt{3} }{2}) ^{2} + frac{1}{4} }$

А теперь воспользуемся неравенством треугольника для двух векторов.

А именно,
$|a + b| leq |a| + |b|$
Это неравенство обращаем остриём вправо:
$|a| + |b| geq |a+b|$

Наше выражение - это ни что иное, как сумма длин введённых векторов. Справа стоит длина суммы векторов, которую мы знаем.
Отсюда получаем наименьшее значение функции:

$sqrt{ x^{2} - x + 1} + sqrt{ x^{2} - sqrt{3} x + 1} geq sqrt{2}$

Необходимо найти теперь точку, в которой достигается это наименьшее значение.
Проще всего это сделать из нашего же неравенства треугольника. В нужной точке, разумеется, достигается равенство. Равенство в неравенстве треугольника достигается при условии сонаправленности векторов.
Воспользуемся им.

Замечаем, что вторая координата первого вектора в корень из 3 раз больше соответствующей координаты второго. У сонаправленных векторов координаты пропорциональны. Значит,

$x - frac{1}{2} = sqrt{3}(-x + frac{ sqrt{3} }{2} )$
Решая это уравнение, мы получаем, что $x = frac{2}{1 + sqrt{3} }$
В этой точке достигается наименьшее значение функции.

Answer 2

Не знаю, кто ее придумал, но нашел я ее у Шарыгина

Answer 3

Великий геометр )

Answer 4

даже я, нематематик, знаю эту фамилию

Answer 5

Согласен. Я провел несколько счастливых лет, решая задачи из его задачника "От учебной задачи к творческой"

Answer 6

вероятно, ощущения суперские )