Question

1) √x+20=x
2) (sin^3)x+(cos^3)x=1

Answer 1

1) $sqrt{x} +20=x$
Пусть $sqrt{x}=t(t geq 0)$, тогда получаем:
$t^2-t-20=0$
 По т. Виета:
$t_1=-4$ - не удовлетворяет условию при $t geq 0.$
$t_2=5$

Обратная замена.
  $sqrt{x}=5\ x=25$

Ответ: 25.

$sin^3x+cos^3x=1$
В левой части уравнения используем формулу сумму кубов, т.е.
$(sin x+cos x)(sin^2x-sin xcos x+cos^2x)=1\ (sin x+cos x)(1-sin xcos x)=1$
Пусть $sin x+cos x=t(|t| leq sqrt{2} )$, тогда, возведя обе части в квадрат, получим $1+2sin xcos x=t^2$ откуда $sin xcos x= frac{t^2-1}{2}$, имеем

$t(1- frac{t^2-1}{2} )=1|cdot 2\ \ t^3-3t+2=0$
Подбираем корень. t=1, т.е. $1^3-3cdot1+2=0$ получим $0=0$. Разделив выражение $t^3-3t+2$ на (t-1), получим $t^2+t-2$

$t^2+t-2=0$
По т. Виета
$t_1=-2\ t_2=1$

Корень t=-2 не удовлетворяет условию.

Обратная замена

$sin x+cos x=1\ sqrt{2} sin(x+ frac{pi}{4} )=1\ sin (x+ frac{pi}{4} )= frac{1}{sqrt{2}} \ \ x=(-1)^ncdot frac{pi}{4} - frac{pi}{4} + pi n,n in Z$

Ответ: x = (-1)ⁿ · π/4 - π/4 + πn, где n - целые числа.