Question

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a,а боковое ребро l.Обьем пирамиды равен.

Answer 1

Объем пирамиды:

V=$frac{1}{3}cdot Scdot H$,

где S - площадь основания, H - высота

Основание правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник.

Высота такого треугольника:
$h= sqrt{a^2-(frac{a}{2})^2}=frac{sqrt{3}}{2} cdot a$

Площадь треугольника, соответственно:
$S=frac{1}{2} cdot a cdot h=frac{sqrt{3}}{4} cdot a^2$


Точка пересечения высот правильного треугольника является также и точкой пересечения медиан, а значит делит высоту в отношении 1:2.

Высота правильной пирамиды проецируется в эту точку. Отсюда вычисляем:
$H=sqrt{l^2-(frac{2}{3} cdot h)^2}=sqrt{l^2-(frac{a}{sqrt{3}})^2}= \\ sqrt{l^2-frac{a^2}{3}}=frac{sqrt{3l^2-a^2}}{sqrt{3}}$

И наконец, весь объем:
$V= frac{1}{3}cdot Scdot H=frac{1}{3}cdotfrac{sqrt{3}}{4} cdot a^2 cdot frac{sqrt{3l^2-a^2}}{sqrt{3}}=\\ =frac{1}{12}cdot a^2 cdot sqrt{3l^2-a^2}}$

Ответ: $V=frac{1}{12}cdot a^2 cdot sqrt{3l^2-a^2}}$