Question

Найти остаток при делении $2^{2011} : 5$

Answer 1

Тут нужно поймать закономерность и рассмотреть последовательность остатков степеней двойки при делении на 5

Степени: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512
2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1, 2...

Итак, видим последовательность из 4 остатков, циклящуюся снова и снова. Это достаточно очевидно, ведь степени двойки кончаются на 2, 4, 8, 6 и по кругу, а 2, 4, 3, 1 - это те же числа по модулю 5.

2¹ имеет остаток 2
Значит и 2^2009 имеет остаток 2, 2^2010 остаток 4 а 2^2011 остаток 3

Ответ 3

Answer 2

$a equiv b (mod d ) Rightarrow a^k equiv b^k (mod d ), k in mathbb{N};\\ 2^{4} equiv 1 (mod 5 ); { 16 = 3*5 + 1 };$

$a equiv b (mod e ), c equiv d (mod e ) Rightarrow ac equiv bd (mod e );\\ { 2011 = 2008 + 3 = 502*4 + 3, 2^{3} = 8 = 5 + 3 };\\ 2^{2008} equiv 1 (mod 5 ), 2^{3} equiv 3 (mod 5 ) Longrightarrow\\ Rightarrow 2^{2011} equiv 3 (mod 5 );\\ boxed{mathbb{OTBET:} 3 }$