Question

В треугольнике ABC на сторонах BC и AB взяты точки E и D соответственно так, что
∠BED = 2∠ACB. Докажите, что AC + EC > AD

Answer 1

Чтобы выполнялось условие <BED=2<АСВ, построим на вершине С угол ВСF, равный двум углам С треугольника АВС.
Проводя прямые параллельно прямой СF, мы видим, что если треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, то условие задачи не может быть выполнено, поскольку прямая ЕD будет параллельна стороне ВС треугольника при любом положении точки Е на стороне ВС и точка D будет лежать на продолжении стороны АВ, а не на стороне, как дано в условии.
Значит <A должен быть больше <C.
Но в любом случае по теореме о неравенстве треугольника в треугольнике АЕС АС+ЕС>AE. Остается доказать, что AD ≤ AE.
Рассмотрим остроугольный треугольник АВС.
Продолжим прямую ЕD до пересечения с прямой СА в точке Р.
Угол А треугольника острый, значит угол  РАD - тупой, а угол АDЕ - еще тупее... (как внешний угол, равный сумме двух внутренних, не смежных с ним. В треугольнике АDЕ тупым может быть только один угол и он - больший. Против большего угла лежит большая сторона.
Значит АЕ>AD и АС+ЕС>AD, что и требовалось доказать.

P.S. Можно отметить, что при <A=90° решение будет таким же, так как
<ADE>90°, а если <A>90°, то возможен случай, когда AD>AE.

Answer 2

Наблюдател, в ваших комментариях ч не нуждаюсь. Решение грамотное и исчерпывающее, поэтому другие варианты не нужны.

Answer 3

Во как!

Answer 4

Что ж, если в комментах не нуждаетесь - тогда се ля ви. Если простое решение в пару строк никому не интересно - опять же -"ну и пусть". А комменты для того и существуют, чтобы мы писали, а модеры их удаляли...

Answer 5

Что ж Вы не написали, что Ваше альтернативное решение дано в задании https://znanija.com/task/25334229 Я чуть было не выложил дубликат задания для Вас, но ладно, что посмотрел поиском! Спасибо Архивариусу!

Answer 6

Там я еще выложил свой коммент