Question

Найдите в градусах значение выражения $arccos(cos frac{35 pi }{9} )$

Answer 1

1)arccos(cosα)=α, если 0≤α≤π  (или в градусах 0°≤α≤180°)
2) чтобы перевести радианы в градусы, нужно домножить на 180/π

 $frac{35 pi }{9} * frac{180}{ pi } =700$

на единичной(тригонометрической) окружности всего 360°, значит значение косинуса будет повторяться если к данному углу прибавить или отнять 360°. 

700°-360°=340° - не удовлетворяет условию 0°≤α≤180° (значит отнимаем еще раз)

340°-360°=-20° - получился отрицательный угол и, казалось бы, что решения нет, удовлетворяющего условию 0°≤α≤180°, НО!
косинус-это ЧЕТНАЯ функция, то есть 
cos(-α)=cosα
таким образом cos(-20°)=cos(20°)
и наконец
arccos(cos20°)=20°


Краткое решение:

$arccos(cos frac{35 pi }{9} ) =arccos(cos( frac{35 pi }{9}* frac{180^circ}{ pi } ) )=arccos(cos700^circ)= \ \ =arccos(cos(700^circ-2*360^circ))=arccos(cos(-20^circ))=\ \=arccos(cos20^circ)= 20^circ$

Ответ: 20°

Answer 2

arccos(cos(35π/9)) = x --это угол (по определению) 0 ≤ х ≤ π, для которого 
cos(x) = cos(35π/9) 
cos(x) = cos(3π + 8π/9)
для синуса/косинуса полный период 2π, его можно "отбросить" 
cos(x) = cos(3π +π-π + 8π/9) 
cos(x) = cos(4π - π/9) 
cos(x) = cos(-π/9) = cos(π/9)  косинус --функция четная)))
х = π/9 (радиан)
х = 20° (=180°/9)