Question

Обчислити границі послідовності:
$1)~lim_{n to infty} underset{n}{underbrace{0,11...1}}   3)~ lim_{n to infty} frac{1^3+2^3+...+(2n)^3+(2n+1)^3}{n^4}$

Answer 1

1) Заметим, что 
$a_n = underset{n}{underbrace{0.1111...1}} = 0.1+0.1^2+0.1^3+...+0.1^n$

Это частные суммы бесконечно убывающей геометрической прогресии. Предел этих сумм вычисляется как 0.1/(1-0.1) = 1/9

3)
Воспользуемся известным соотношением

$displaystyle 1^3+2^3+3^3+...(2n+1)^3= (2n+1)^2(2n+2)^2/4=(2n+1)^2(n+1)^2\\ limlimits_{nrightarrowinfty}frac{(2n+1)^2(n+1)^2}{n^4} = limlimits_{nrightarrowinfty}(2+1/n)^2(1+1/n)^2} = 4$

Answer 2

Мда, все я залажала

Answer 3

Ну главное, что формула есть, поэтому мы с вами на правильном пути...

Answer 4

Все, у меня тоже 4 и Вольфрам Альфа тоже говорит 4

Answer 5

ну значит в ответах ошибка, у меня, кстати, вольфрам чего-то упорно не хочет понимать, что я ввожу.

Answer 6

Большое вам спасибо