Question

Найдите число корней уравнений cos(x-π)-cos²4x=sin²4x-sin(x/2+3π/2) принадлежащих отрезку [-π; 4π/3]

Answer 1

Формулы приведения:
cos(x - pi) = cos(pi - x) = -cos x
sin(x/2 + 3pi/2) = sin(x/2+3pi/2-2pi) = sin(x/2-pi/2) = -cos(x/2)
Подставляем
-cos x - cos^2 (4x) = sin^2 (4x) + cos(x/2)
-cos x = sin^2 (4x) + cos^2 (4x) + cos(x/2) = 1 + cos(x/2)
Переходим к половинному аргументу и переносим все налево
-(2cos^2 (x/2) - 1) - 1 - cos(x/2) = 0
-2cos^2 (x/2) + 1 - 1 - cos(x/2) = 0
2cos^2 (x/2) + cos (x/2) = 0
cos (x/2)* (2cos (x/2) + 1) = 0
1) cos (x/2) = 0; x/2 = pi/2 + pi*k; x = pi + 2pi*k
2) cos (x/2) = -1/2; x/2 = +-2pi/3 + 2pi*n; x = +-4pi/3 + 4pi*n
Отрезку [-pi; 4pi/3] принадлежат 3 корня:
x1 = -pi; x2 = pi; x3 = 4pi/3
Ответ: 3 корня.