Question

Найдите максимально возможное количество острых углов выпуклого многоугольника.

Answer 1

Рассмотрим выпуклый N-угольник. Известно, что сумма его углов обязательно равна 180*(N-2), также известно, что ни один из углов не может быть больше (или даже равным) 180 градусам.

Пусть среди N углов K - острые. Тогда их сумма очевидно меньше 90K, а сумма остальных N-K углов должна превышать

$180(N-2)-90K$

Также Очевидно, что и эта сумма не должна превышать 180(N-K), так как каждый угол меньше 180. Отсюда получим

$180(N-2)-90K textless 180(N-K)\ 180(K-2) textless 90K\ 2K-4 textless K\ K textless 4$

Не более трех острых углов. 

Мы нашли верхнюю границу, но это не гарантирует что K=3 действительно возможно. Но вспомнить хотя бы равносторонний треугольник с углами по 60, и станет ясно, что такой случай возможен.

Answer 2

Осталось добавить фразу о том, что три острых угла может быть (остроугольный треугольник, например)

Answer 3

Ну так-то да, строго говоря, надо.

Answer 4

Послать на исправление, чтобы довести до совершенства?

Answer 5

А давайте