Question

решение (а+2)х2+3ах-2а=0 при каких значениях параметра а, оба корня уравнения больше 0,5?

Answer 1

Задание. (а+2)х²+3ах-2а=0 при каких значениях параметра а, оба корня уравнения больше 0,5?
       Решение:
Напомню, то корни квадратного уравнения  трехчлена $Ax^2+Bx+C$ с действительными коэффициентами оба действительны и оба больше данного числа $\delta$ $(x_1\ \textgreater \ \delta,\,\,\,\, x_2\ \textgreater \ \delta)$, когда $\begin{cases} & \text{ } B^2-4AC\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } A(A\delta^2+B\delta+C)\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } \delta\ \textless \ - \dfrac{B}{2A} \end{cases}$, Согласно этому и условию, имеем $\begin{cases} & \text{ } (3a)^2-4\cdot(a+2)\cdot(-2a)\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } (a+2)((a+2)\cdot0.5^2+3a\cdot0.5-2a)\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } 0.5\ \textless \ - \dfrac{3a}{2(a+2)} \end{cases}$

Рассмотрим неравенства отдельно.
 $(3a)^2-4\cdot(a+2)\cdot(-2a)\ \textgreater \ 0\\ 9a^2+8a^2+16a\ \textgreater \ 0\\ 17a^2+16a\ \textgreater \ 0$
Приравниваем к нулю, т.е. $17a^2+16a=0;\,\,\,\,\,\, a(17a+16)=0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю
$a_1=0$
$17a+16=0$   откуда   $a=- \dfrac{16}{17}$

___+___(-16/17)___-__(0)___+___
Решением неравенства есть промежуток $a \in (-\infty;-\frac{16}{17} )\cup(0;+\infty).$

$(a+2)((a+2)\cdot0.5^2+3a\cdot0.5-2a)\ \textgreater \ 0\\ -(a+2)(0.25a-0.5)\ \textgreater \ 0$
a1 = -2
a2 = 2
___-___(-2)__+___(2)___-__
Решение неравенства есть промежуток $a \in (-2;2).$

$0.5\ \textless \ - \dfrac{3a}{2(a+2)}\\ \\ \dfrac{2a+1}{a+2} \ \textless \ 0$

Приравниваем к нулю, т.е. $\dfrac{2a+1}{a+2}=0$. Дробь обращается в 0, если числитель равен нулю, т.е. $2a+1=0$  откуда   $a=-0.5$

___+__(-2)___-___(-0.5)__+____
Решение неравенства является промежуток $a \in (-2;-0.5).$

Общее решение: $a \in \bigg(-2;- \dfrac{16}{17} \bigg).$

Ответ: $a \in \bigg(-2;- \dfrac{16}{17} \bigg).$