Question

Алгебра - логарифмическое неравенство по переменному основанию. Помогите пожалуйста!

Answer 1

Рисуем ОДЗ:
0.5x > 0; 0.5x ≠ 1; x > 0; x ≠ 1; 8x^-2 > 0; 8x^-2 ≠ 1; 4x^-1 > 0; 0.5x^2 > 0
x > 0; x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 2√2

Делаем крокодилов менее страшными:
log(0.5x, 4x^-1) = log(0.5x, 2 * (0.5x)^-1) = log(0.5x, 2) - 1
log(0.5x, 0.5x^2) = log(0.5x, 2 * (0.5x)^2) = log(0.5x, 2) + 2
1 / log(x, 0.5x) = log(0.5x, x) = log(0.5x, 2 * 0.5x) = log(0.5x, 2) + 1
1 / log(8x^-2, 0.5x) = log(0.5x, 8x^-2) = log(0.5x, 2 * (0.5x)^-2) = log(0.5x, 2) - 2

Все логарифмы выразились через log(0.5x, 2). Меняем этот логарифм на t и получаем относительно красивое неравенство:
(t - 1)(t + 2)(t + 1)(t - 2) < 40
(t^2 - 1)(t^2 - 4) < 40
t^4 - 5t^2 - 36 < 0
(t^2 - 9)(t^2 + 4) < 0
t^2 - 9 < 0
t^2 < 9
-3 < t < 3
 
Обидно, но придётся вернуться к логарифму. Сразу поменяем log(0.5x, 2) на 1 / log(2, 0.5x), так веселее.

-3 < 1 / log(2, 0.5x) < 3
log(2, 0.5x) > 1/3 или log(2, 0.5x) < -1/3
0.5x > 2^(1/3) или 0 < 0.5x < 2^(-1/3)
x > 2^(4/3) или 0 < x < 2^(2/3)

Внезапно вспоминаем, что у нас выписано ОДЗ. Радуясь, что мы про него не забыли, выписываем ответ.
$x\in(0,1)\cup(1,\sqrt[3]4)\cup(2\sqrt[3]2,2\sqrt 2)\cup(2\sqrt2,+\infty)$

Ура!