Question

Основание треугольника равна 20,а медианы проведенные к боковым сторонам равны 18 и 24.Найти площадь треугольника

Answer 1

Задание. Основание треугольника равна 20,а медианы проведенные к боковым сторонам равны 18 и 24.Найти площадь треугольника.
              Решение:
Пусть $c=20$, а медианы проведенные к боковым сторонам $m_a=18,\,\,\,\,\,\,\, m_b=24.$ Медиана проведенная к стороне с равна: $m_c= \sqrt{2(m_b^2+m_a^2)- \dfrac{9c^2}{4} } = \sqrt{2\cdot(24^2+18^2)- \dfrac{9}{4} \cdot20^2}=30$.
Найдем боковые стороны
$a= \dfrac{2}{3} \sqrt{2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2} = \dfrac{2}{3} \sqrt{2\cdot(24^2+30^2)-18^2} =4 \sqrt{73}$
$b= \dfrac{2}{3} \sqrt{2(m_a^2+m_c^2)-m_b^2}= \dfrac{2}{3} \sqrt{2\cdot(18^2+30^2)-24^2} =8 \sqrt{13}$

По т. Косинусов $\cos \alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}= \dfrac{(8 \sqrt{13})^2+20^2-(4 \sqrt{73})^2}{2\cdot8 \sqrt{13}\cdot20} = \dfrac{ \sqrt{13}}{65}$
тогда $\sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2 \alpha } = \sqrt{1-\bigg(\dfrac{ \sqrt{13}}{65} \bigg)^2} = \dfrac{18 \sqrt{13} }{65}$
Радиус описанной окружности(обобщенная теорема синусов): $R= \dfrac{a}{2\sin \alpha } = \dfrac{4 \sqrt{73} }{\dfrac{36 \sqrt{13} }{65}} = \dfrac{5 \sqrt{949} }{9}$.
Найдем площадь треугольника:
 $S= \dfrac{abc}{4R}= \dfrac{4 \sqrt{73}\cdot8 \sqrt{13} \cdot20 }{4\cdot\dfrac{5 \sqrt{949} }{9} } =288$

Ответ: 288.