Question

Докажите, что $frac{1}{3} * frac{4}{6} * frac{7}{9} * ... * frac{100}{102} textless frac{1}{17}$

Answer 1

Положим $a= dfrac{1}{3} cdot dfrac{4}{6} cdot dfrac{7}{9} cdot...cdot dfrac{100}{102};,,,,, b= dfrac{2}{4} cdot dfrac{5}{7} cdot dfrac{8}{10}cdot...cdot dfrac{101}{103};$    $c= dfrac{3}{5} cdot dfrac{6}{8} cdot dfrac{9}{11} cdot...cdot dfrac{102}{104}.$

Поскольку $dfrac{k}{k+2} textgreater dfrac{n}{n+2}$ при $k textgreater n textgreater 0$, то имеем, что $a textless b textless c$. Поэтому, $a^3 textless abc= dfrac{1cdot2cdot3cdot...cdot100cdot101cdot102}{3cdot4cdot5cdot...cdot102cdot103cdot104} = dfrac{2}{103cdot104} textless dfrac{2}{100cdot100} =dfrac{1}{5000}<dfrac{1}{17^3}.$
откуда $a textless dfrac{1}{17}$, что и требовалось доказать.