Question

4. Нехай R- множина додатних дійсних чисел. Знайти всі функції , такі, що для будь-яких x,y є R справедлива рівність
f(x)f(yf(x))=f(x+y)
СРОЧНО!!!!

Answer 1

1. Пусть в какой-то точке z значение f(z) больше 1. Возьмем y так, чтобы выполнилось 
y f(z) = z + y
y(f(z) - 1) = z
y = z / (f(z) - 1) > 0

Подставляем в уравнение этот y и x = z и получаем, что f(z) = 1 - противоречие. Значит, f(x) <= 1 для всех x.

2. Пусть в какой-то точке z оказалось, что f(z) = 1. Подставляем в равенство y = z - x, x < z: 
f(x) * f((z - x) f(x)) = f(z) = 1

Так как f(...) <= 1, то произведение двух значений функции может быть равно 1 только в том случае, когда эти значения - единицы. Поэтому f(x) = 1 для всех x из промежутка (0, z].

Подставляем в равенство x = z:
f(z) f(y f(z)) = f(y + z)
f(y) = f(y + z)

Сдвигами на z можно получить, что f(y) = 1 для всех допустимых y.

3. Остался случай, когда для всех x значения f(x) < 1.
Для любого положительного y f(x + y) = f(x) * f(...) < f(x), поэтому функция f(x) монотонно убывает, значит, каждое своё значение принимает только один раз.

Подставляем в равенство y = y / f(x):
f(x) f(y) = f(x + y / f(x))

Подставляем в равенство x = y, y = x / f(y):
f(y) f(x) = f(y + x / f(y))

f(x + y / f(x)) = f(y + x / f(y)) - по написанному выше так бывает, только если аргументы функций совпадают.

x + y / f(x) = y + x / f(y)
y (1/f(x) - 1) = x (1/f(y) - 1)
(1/f(x) - 1)/x = (1/f(y) - 1)/y

Отношения не зависят от переменной. Обозначим его за c, c > 0.
(1/f(x) - 1)/x = c
1/f(x) - 1 = cx
1/f(x) = 1 + cx
f(x) = 1/(1 + cx)

Проверкой убеждаемся, что найденные фунцкции - решения уравнения. f(x) = 1 тоже подпадает под общую формулу при c = 0.

Ответ. f(x) = 1/(1 + cx), c >= 0.