Question

Чи вірно, що існує так натуральне k , що для будь якого натурального числа n>k вірна нерівність (во вложении)

Answer 1

Да, верно.

Рассмотрим предел
$displaystylelim_n nleft(sum_{k=1}^nfrac1{C_n^k}-1right)=lim_n nsum_{k=1}^{n-1}frac1{C_n^k}$

Заметим, что для всех 2 < k < n - 2
$C_n^kgeqslant C_n^3=dfrac{n(n-1)(n-2)}6$

Тогда
$displaystyle nleft(frac1{C_n^1}+frac1{C_n^{n-1}}right)leqslant sum_{k=1}^{n-1}frac n{C_n^k}leqslant nleft(frac1{C_n^1}+frac1{C_n^{n-1}}+frac1{C_n^2}+frac1{C_n^{n-2}}+frac{n-5}{C_n^3}right)\ 2leqslant nsum_{k=1}^{n-1}frac1{C_n^k}leqslant 2+frac4{n-1}+frac{6(n-5)}{(n-1)(n-2)}$

Правая часть стремится к 2, тогда по теореме о двух милиционерах 
$displaystylelim_n nleft(sum_{k=1}^nfrac1{C_n^k}-1right)=2\ sum_{k=1}^nfrac1{C_n^k}=1+frac2n+oleft(frac1nright)$

$displaystyleleft(sum_{k=1}^nfrac1{C_n^k}right)^n=left(1+frac2n+oleft(frac1nright)right)^nto e^2=7.38dots textless 7.4$

Так как левая часть неравенства в пределе меньше 7,4, то начиная с какого-то места левая часть будет меньше 7,4, что и требовалось доказать.