Question

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A прямой. Окружность проходит через точки C и D и касается стороны AB в точке O. Найдите расстояние от точки O до прямой CD, если AD=48, BC=12.

Answer 1

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой.
∠BOC= 1/2 U OC

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
∠ODE= 1/2 U OC

∠BOC=∠ODE => △BOC~△ODE (прямоугольные т. с равными острыми углами)
OC/OD=BC/OE

Аналогично ∠OCE=∠AOD => △OCE~△AOD
OC/OD=OE/AD

BC/OE=OE/AD <=> OE= √(BC*AD) =√(12*48) =24

-------------------------------------------------------------------------------------------------------
P.S. Частный случай, когда центр окружности находится на CD:
△BOC=△OCE (диаметр, перпендикулярный к хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам: U OC=U CO1, ∠BOC=COE), △AOD=△ODE, BC=CE, AD=ED. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. ∠COD=90. Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу. OE= √(CE*ED) = √(BC*AD).